Пример 1
Найти производную функции $y=(x^2+1)^5\ln x$.
Используем правило произведения и цепное правило:
\[y'=10x(x^2+1)^4\ln x + (x^2+1)^5\frac1x.\]
Сложные примеры дифференцирования
Раздел демонстрирует последовательное применение нескольких правил в рамках одной задачи.
Пример 2
$y=\frac{e^{3x}}{1+x^2}$.
Применяем правило частного:
\[y'=\frac{3e^{3x}(1+x^2)-e^{3x}\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{e^{3x}(3+3x^2-2x)}{(1+x^2)^2}.\]
Пример 3
$y=\sin(\sqrt{1+2x})$.
Дважды применяем цепное правило:
\[y'=\cos(\sqrt{1+2x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+2x}}\cdot2=\frac{\cos(\sqrt{1+2x})}{\sqrt{1+2x}}.\]