Матрицы
Матрица порядка $m\times n$ — таблица элементов $A=(a_{ij})$. Базовые операции: сложение, умножение на число, матричное умножение, транспонирование.
\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.\]
Матрицы, определители, системы
Раздел посвящён ключевым объектам линейной алгебры и их использованию в решении прикладных математических задач.
Определители
Определитель квадратной матрицы является критерием обратимости: матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю.
\[\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.\]
Системы линейных уравнений
Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы и приводит систему к ступенчатому виду, после чего выполняется обратный ход.
\[\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}\Rightarrow x=1,\ y=2.\]
Связанные теоремы
Теоремы, которые напрямую применяются в линейной алгебре и смежных курсах.
Теорема Кэли–Гамильтона
Позволяет выражать степени матрицы через многочлен меньшей степени и анализировать операторы.
Теорема Гаусса–Остроградского
Связана с линейными операторами векторного анализа и матричным представлением полей.
Теорема Больцано–Вейерштрасса
Используется в численных методах и анализе сходимости матричных последовательностей.