Определённый интеграл формализует идею суммирования бесконечно малых вкладов на конечном интервале.
Пусть отрезок $[a,b]$ разбит на части. Для функции $f$ рассматриваются интегральные суммы. Если при измельчении разбиения все такие суммы стремятся к одному пределу, то этот предел называется определённым интегралом:
Если $F'(x)=f(x)$ на $[a,b]$, то:
Это связывает определённый и неопределённый интегралы и является основным вычислительным инструментом.
Вычислим $\int_0^1(2x+1)dx$:
Геометрически это ориентированная площадь между графиком функции и осью абсцисс на отрезке $[0,1]$.