MathLab
Интегралы

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — семейство первообразных, позволяющее восстановить функцию по её производной.

Определение и свойства

Если $F'(x)=f(x)$ на промежутке $I$, то функция $F$ называется первообразной функции $f$, а выражение

\[\int f(x)\,dx = F(x)+C\]

называется неопределённым интегралом. Линейность:

\[\int(\alpha f+\beta g)dx=\alpha\int fdx+\beta\int gdx.\]

Табличные интегралы

  • $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\ n\ne -1$
  • $\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$
  • $\int e^x dx=e^x+C$
  • $\int\sin x\,dx=-\cos x + C$
  • $\int\cos x\,dx=\sin x + C$

Пример

Найти $\int (4x^3-2x+5)dx$.

\[\int(4x^3-2x+5)dx=x^4-x^2+5x+C.\]

После нахождения первообразной всегда добавляется произвольная константа $C$.