Замена переменной
Если подынтегральное выражение содержит композицию, удобно положить $u=g(x)$, тогда:
\[\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du.\]
Пример: $\int 2x\cos(x^2)dx=\sin(x^2)+C$.
Методы интегрирования
На практике ключевую роль играет выбор подходящей техники преобразования подынтегрального выражения.
Интегрирование по частям
Базовая формула:
\[\int u\,dv=uv-\int v\,du.\]
Метод применяют, когда произведение функций можно упростить выбором $u$ и $dv$. Пример: $\int x e^x dx = xe^x-e^x+C$.
Разложение рациональных функций
Для дробей вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$ после деления и факторизации знаменателя выполняется разложение на простые дроби. Затем интеграл сводится к табличным случаям.