Отдельная теорема

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Фундаментальное утверждение о том, что ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Всякая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.

\[\text{Если } \{x_n\} \text{ ограничена, то } \exists \text{ подпоследовательность } \{x_{n_k}\} \text{ такая, что } x_{n_k} \to L\]

Пусть последовательность {x_n} ограничена: m ≤ x_n ≤ M для всех n.

Шаг 1: Разделим отрезок [m, M] пополам. Хотя бы одна половина содержит бесконечно много членов последовательности. Выберем эту половину.

Шаг 2: Повторяем процесс, каждый раз деля отрезок пополам и выбирая половину с бесконечным числом членов.

Шаг 3: Получаем стягивающуюся систему отрезков. По лемме о вложенных отрезках существует общая точка L.

Шаг 4: Из каждого отрезка выбираем член последовательности с большим номером. Полученная подпоследовательность сходится к L. ■

Всякая ограниченная последовательность в ℝⁿ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Всякая непрерывная функция на компактном множестве ограничена и достигает своих экстремумов.

Доказательство существования пределов - если последовательность монотонна и ограничена, она сходится
Теория компактности - характеризует компактные множества в ℝ
Численные методы - гарантия сходимости итерационных процессов
Оптимизация - существование минимума и максимума

Последовательность x_n = (-1)ⁿ ограничена (-1 ≤ x_n ≤ 1), но не сходится. Однако она имеет сходящиеся подпоследовательности:

\[x_{2k} = 1 \to 1, \quad x_{2k-1} = -1 \to -1\]