MathLab
Линейная алгебра

Теорема Гамильтона-Кэли

Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Формулировка

Пусть A - квадратная матрица размера n×n с характеристическим многочленом:

\[p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0\]

Тогда матрица A удовлетворяет уравнению:

\[p_A(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I = 0\]

где 0 - нулевая матрица, I - единичная матрица.

Интуитивное объяснение

Характеристический многочлен описывает «поведение» матрицы относительно собственных значений. Теорема Гамильтона-Кэли говорит, что матрица «ведёт себя» так же, как её собственные значения.

Аналогия: Если у человека есть определённый характер (собственные значения), то его поступки (матричные операции) следуют этому характеру.

Примеры

Пример 1: Матрица 2×2

Пусть A = [[2, 1], [1, 2]].

Характеристический многочлен:

\[\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3\]

По теореме Гамильтона-Кэли:

\[A^2 - 4A + 3I = 0\] \[\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Пример 2: Диагональная матрица

Для диагональной матрицы D = diag(λ₁, λ₂, ..., λₙ):

\[p_D(D) = \prod_{i=1}^n (D - \lambda_i I) = 0\]

Следствия

1. Минимальный многочлен

Существует минимальный многочлен m_A(λ) который делит характеристический многочлен.

2. Вычисление обратной матрицы

Если A обратима, то из p_A(A) = 0 можно выразить A⁻¹ через степени A.

3. Степени матрицы

Любая степень Aᵏ при k ≥ n можно выразить через I, A, ..., Aⁿ⁻¹.

Применения

1. Вычисление функций от матриц

Определение eᴬ, sin(A), cos(A) через степенные ряды.

2. Решение систем дифференциальных уравнений

Системы вида x' = Ax с постоянными коэффициентами.

3. Теория управления

Анализ устойчивости систем, управляемость.

4. Квантовая механика

Эволюция квантовых систем, операторы.

Вычисление обратной матрицы

Для матрицы 2×2: A² - tr(A)·A + det(A)·I = 0

Если det(A) ≠ 0, то:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}(tr(A) \cdot I - A)\]

Для нашего примера: tr(A) = 4, det(A) = 3

\[A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]