Формулировка
Для любого целого n > 2 уравнение:
\[x^n + y^n = z^n\]
не имеет решений в ненулевых целых числах x, y, z.
Великая теорема Ферма
Классический результат теории чисел, который потребовал современных методов алгебраической геометрии.
История
Ферма сформулировал теорему в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта написал: «Я нашёл поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить».
Доказательство было найдено только в 1994 году Эндрю Уайлсом после 7 лет работы.
Частные случаи
n = 4 (случай Ферма)
Ферма сам доказал случай n = 4 методом бесконечного спуска.
n = 3 (случай Эйлера)
Леонард Эйлер доказал случай n = 3 в 1770 году.
n = 5 (случай Дирихле и Лежандра)
Доказан в 1825 году независимо Дирихле и Лежандром.
Современное доказательство
Доказательство Уайлса использует:
- Эллиптические кривые
- Модулярные формы
- Гипотеза Таниямы-Шимуры
Ключевая идея: если бы существовало решение, то это противоречило бы связи между эллиптическими кривыми и модулярными формами.
Влияние на математику
Теорема Ферма стимулировала развитие:
- Алгебраической теории чисел
- Теории эллиптических кривых
- Арифметической геометрии
- Модулярных форм