Формулировка
Пусть V - ограниченная область в ℝ³ с гладкой границей ∂V, ориентированной наружу. Если векторное поле \[\vec{F} = (P, Q, R)\] имеет непрерывные частные производные, то:
\[\iint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV\]
В координатной форме:
\[\iint_{\partial V} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx \, dy \, dz\]
Физическая интерпретация
Полный поток поля через замкнутую поверхность равен сумме «источников» и «стоков» поля внутри объёма.
Пример: Если поле - это скорость течения жидкости, то поток через поверхность показывает, сколько жидкости вытекает из объёма. Дивергенция показывает локальную скорость расширения/сжатия.
Дивергенция
Дивергенция векторного поля:
\[\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\]
Положительная дивергенция - источник, отрицательная - сток, нулевая - несжимаемое поле.
Применения
1. Электродинамика
Закон Гаусса: \[\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]
Поток электрического поля через поверхность пропорционален заряду внутри.
2. Гидродинамика
Уравнение неразрывности: \[\nabla \cdot \vec{v} = 0\] для несжимаемой жидкости.
3. Гравитация
Закон Ньютона-Гаусса: поток гравитационного поля пропорционален массе.
4. Теплопередача
Уравнение теплопроводности, баланс тепла.
Пример вычисления
Вычислить поток поля \[\vec{F} = (x, y, z)\] через сферу x² + y² + z² = R².
Дивергенция:
\[\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3\]
По теореме Гаусса-Остроградского:
\[\iint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V 3 \, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3\]
Связь с другими теоремами
Теорема Стокса
Стокс связывает криволинейный интеграл с поверхностным.
Формула Грина
Двумерный случай теоремы Гаусса-Остроградского.