Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри, то найдётся точка с производной, равной средней скорости изменения.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то существует точка c ∈ (a,b) такая, что:
Геометрически: существует точка, где касательная параллельна хорде, соединяющей концы графика.
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Функция g(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и g(a) = g(b) = 0. По теореме Ролля существует c ∈ (a,b), где g'(c) = 0.
Если f'(x) = 0 на интервале, то f(x) = const на этом интервале.
Если f'(x) > 0, то функция возрастает. Если f'(x) < 0, то убывает.
Если |f'(x)| ≤ M, то |f(b) - f(a)| ≤ M|b - a|.
Доказательство неравенств, нахождение экстремумов, анализ поведения функций, численные методы.